משפט דיוויס-קהן

באלגברה לינארית משפט דיוויס-קהן (Davis-Kahan Theorem) על שם צ'נדלר דיוויס ווויליאם קהאן עוסק ביציבות של וקטורים עצמיים של מטריצה סימטרית כאשר יש הפרעה קטנה במטריצה. המשפט מראה כיצד השינויים במטריצה משפיעים על הווקטורים העצמיים שלה.

המשפט מגדיר כי בהינתן מטריצות סימטריות $A,A^{\prime }$, אם ההפרעה $A-A^{\prime }=E$ היא קטנה ואם הערכים העצמיים של $A,A^{\prime }$ רחוקים מספיק אחד מהשני אז ההבדל בין הווקטורים העצמיים של $A^{\prime }$ ושל $A$ הוא גם קטן.

ניסוח פורמלי

למשפט יש מספר ניסוחים פורמלים שונים, יוצג פה אחד מתוכם. יהיו $A,A^{\prime }$ מטריצות סימטריות בגודל $n\times n$ עם $\lambda _{1}<\lambda _{2}<...<\lambda _{n}$ ערכים עצמיים של $A$ ו- $\lambda _{1}^{\prime }<\lambda _{2}^{\prime }<...<\lambda _{n}^{\prime }$ ערכים עצמיים של $A^{\prime }$/. יהי $i\in \{1,...,n\}$, נניח שמתקיים:

$\min _{j\neq i}|\lambda _{i}(A)-\lambda _{j}(A)|=\delta _{i}>0$

אזי, אם $u_{i}$ וקטור עצמי של $A$ המתאים לערך העצמי $\lambda _{i}$ וגם $u_{i}^{\prime }$ וקטור עצמי של $A^{\prime }$ המתאים לערך העצמי $\lambda _{i}^{\prime }$, הזווית בין הוקטורים (שנובעת מהמכפלה הסקלרית):

$\sin(u_{i}^{\prime },u_{i})\leq {\frac {\Vert E\Vert _{2}}{\delta _{i}}}$

...

ערכים עצמיים

This article "משפט דיוויס-קהן" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:משפט דיוויס-קהן. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

---

 Facebook Page

🐤 Twitter Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• משפט דיוויס-קהן in English