זהות ארבעת הריבועים של אוילר

במתמטיקה, זהות ארבעת הריבועים של אוילר אומרת שהמכפלה של שני מספרים, שכל אחד מהם הוא סכום של ארבעה ריבועים, הוא עצמו סכום של ארבעה ריבועים.

זהות אלגברית

עבור כל זוג של מספרים המקיימים את התנאי עם פעולה קומוטטיבית, מתקיים:

$${\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[3mu]&\qquad =\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}\\[3mu]&\qquad \qquad +\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}.\end{aligned}}$$

אוילר כתב זהות זו במכתב מיום 4 במאי 1748 לגולדבך (אמנם הוא השתמש בדרך אחרת להציג את הזהות). ניתן לאמת זאת באמצעות אלגברה יסודית .

הזהות שימשה את לגרנז' כדי להוכיח את משפט ארבעת הריבועים שלו. ליתר דיוק, זה מרמז שדי להוכיח את המשפט עבור מספרים ראשוניים, ולאחר מכן את המשפט הכללי יותר.

משפט הורביץ קובע זהות של הצורה,

$$\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dots +a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dots +b_{n}^{2}\right)=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dots +c_{n}^{2}$$

כאשר ה $c_{i}$ הם פונקציות בילינאריות של $a_{i}$ ו $b_{i}$ והזהות אפשרית רק עבור n = 1, 2, 4 או 8.

זהותו של פייסטר

פייסטר מצא זהות ריבועית אחרת לכל חזקה זוגית:

אם $c_{i}$ הן פונקציות רציונליות של קבוצה אחת של משתנים כלשהם, כך שלכל $c_{i}$ יש מכנה, אז הזהות אפשרי לכל $n=2^{m}$ .

לפיכך, זהות נוספת של ארבעת הריבועים היא כדלקמן:

$${\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[5mu]&\quad =\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}\right)^{2}\\&\quad \qquad +\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}$$

כאשר $u_{1}$ ו $u_{2}$ ניתנים על ידי

$${\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}\\u_{2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}\end{aligned}}$$

בנוסף, מתקיים:

$$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)^{2}\left(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)$$

לקריאה נוספת

• זהות Brahmagupta-Fibonacci (סכומים של שני ריבועים)
• זהות שמונה מרובע של דגן
• זהותו של פייסטר בת שש עשרה מרובע
• ריבוע לטינית

קישורים חיצוניים

• אוסף של זהויות אלגבריות </link>
• [1] Lettre CXV מאולר לגולדבך

This article "זהות ארבעת הריבועים של אוילר" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:זהות ארבעת הריבועים של אוילר. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

---

 Facebook Page

🐤 Twitter Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• זהות ארבעת הריבועים של אוילר in English